Trabajo: En el parque Don Javier

-En el parque Don Javier se han localizado el mismo número de pájaros en el pino que en el chopo y, entre el pino, el chopo y una morera  suman 111 pájaros.

    (número de pájaros = np)    

$$Np\quad del\quad pino\quad =\quad Np\quad del\quad chopo\\ Np\quad del\quad pino\quad +\quad Np\quad del\quad chopo\quad +\quad Np\quad de\quad la\quad morera\quad =\quad 111\quad pájaros$$


-Si se cambiarán 8 pájaros del pino y otros 8 pájaros del  chopo a anidar en la morera, los tres árboles tendrían  el mismo número de pájaros.


  $$Np\quad del\quad pino\quad -\quad 8\quad =\quad Np\quad del\quad chopo\quad -\quad 8\quad =\quad Np\quad de\quad la\quad morera\quad +\quad 16$$



1. Si se supone que hay x pájaros en el pino:

   $$Np\quad  del\quad  pino\quad  = \quad x$$

   a) Establece, en función de x, el número de pájaros que hay inicialmente en el chopo y en la morera.

        $$Np\quad  del\quad  pino\quad  = \quad x$$  

       $$Np\quad  del\quad  pino\quad  = \quad Np\quad  del \quad chopo$$

     $$Np\quad del\quad chopo\quad =\quad x$$
           
     $$Np\quad  del\quad  pino\quad  +  \quad Np\quad  del\quad  chopo\quad  + \quad Np\quad  de \quad la\quad  morera\quad  = \quad 111\quad  pájaros$$


                $$x\quad + \quad x\quad + \quad Np\quad  de \quad la\quad  morera\quad  = \quad 111\quad  pájaros$$


                $$2x\quad  + \quad Np\quad  de\quad  la\quad  morera\quad  = \quad 111\quad  pájaros$$

               $$Np\quad  de\quad  la\quad  morera\quad  = \quad 111\quad  - \quad 2x$$



  b) Utilizando esta incógnita, escribe el número de pájaros que habitaría en cada árbol después de la migración.


Después de la migración:

        $$Np\quad  del\quad  pino\quad  = \quad x\quad  -\quad 8$$

        $$Np\quad  del\quad  chopo\quad  = \quad x\quad  - \quad 8$$

        $$Np\quad  de\quad  la\quad  morera\quad  = \quad 111\quad  - \quad 2x\quad  + \quad 16\quad  = \quad 127\quad  - \quad 2x$$


         Después de migrar, 8 pájaros del pino y  8 del chopo anidan en la morera, por lo que al pino se le restan 8 pájaros y también al chopo, pero esos 16 pájaros anidan en la morera, a los pájaros de la morera se le suman 16.



c) Plantea y resuelve una ecuación para calcular cuántos pájaros vivían inicialmente en cada árbol.


Como en el apartado a) ya he calculado el valor  del np inicial en función de x, si calculo x obtendré la solución.

Después de la migración, el np de cada árbol es el mismo.

          $$Np\quad  del\quad  pino\quad  = \quad Np\quad  del\quad  chopo\quad  = \quad Np\quad  de\quad  la\quad  morera$$

             $$x\quad  - \quad 8\quad  = \quad x\quad  - \quad 8\quad =   \quad 127\quad  - \quad 2x$$

                     $$x\quad  - \quad 8\quad  = \quad 127\quad  - \quad 2x$$

                           $$3x\quad =\quad 135$$

                         $$x\quad =\quad \frac { 135 }{ 3 }$$

                             $$x\quad =\quad 45$$

      $$x\quad =\quad Np\quad del\quad pino\quad =\quad Np\quad del\quad chopo$$

      $$Np\quad del\quad pino\quad =\quad 45\quad pájaros$$

   $$Np\quad del\quad chopo\quad =\quad 45\quad pájaros$$

     $$Np\quad de\quad la\quad morera\quad =\quad 111\quad -\quad 2x$$

     $$Np\quad de\quad la\quad morera\quad =\quad 111\quad -\quad 2\quad ·\quad 45$$

    $$Np\quad de\quad la\quad morera\quad =\quad 111\quad -\quad 90$$

    $$Np\quad de\quad la\quad morera\quad =\quad 21\quad pájaros$$




Si después de la migración el np de cada árbol es el mismo:

       $$Np\quad del\quad pino\quad =\quad Np\quad del\quad chopo\quad =\quad Np\quad de\quad la\quad morera$$

       $$Np\quad del\quad pino\quad =\quad x\quad -\quad 8$$

         $$Np\quad del\quad pino\quad =\quad 45\quad -\quad 8$$

     $$Np\quad del\quad pino\quad =\quad 37\quad pájaros$$


d)El número de pájaros que hay en cada árbol después de la migración es:


         $$Np\quad del\quad pino\quad =\quad Np\quad del\quad chopo\quad =\quad Np\quad de\quad la\quad morera\quad$$

     $$Np\quad del\quad pino\quad =\quad x\quad -\quad 8\quad =\quad 45\quad -\quad 8\quad =\quad 37\quad pájaros$$

Por lo tanto, hay 37 pájaros en cada árbol.


2.Si se supone que hay  x pájaros en el pino, en el chopo y en la morera:


a) Plantea y resuelve un sistema de ecuaciones para calcular cuántos pájaros vivían inicialmente en cada árbol.


Después de migrar:
  
       $$Np\quad del\quad pino\quad =\quad x\quad -\quad 8$$

      $$\\ Np\quad de\quad la\quad morera\quad =\quad 111\quad -\quad 2x\quad +\quad 16$$


Si al np de la morera inicialmente lo llamamos y:

       $$ y\quad =\quad 111\quad -\quad 2x$$

         Esta es la primera ecuación del sistema.

Al final de la migración:

     $$Np\quad del\quad pino\quad =\quad Np\quad de\quad la\quad morera$$

     $$ x\quad -\quad 8\quad =\quad y\quad +\quad 16$$

       $$x\quad -\quad y\quad -\quad 24\quad =\quad 0$$

         Esta es la segunda ecuación del sistema.

Sistema de ecuaciones:    

Lo resuelvo por el método de reducción.


$$  \quad x\quad -\quad y\quad -\quad 24\quad =\quad 0\\ -2x\quad -\quad y\quad +\quad 111\quad =\quad 0$$



$$\cfrac { \quad \quad \quad  \quad x\quad -\quad y\quad -\quad 24\quad =\quad 0\\ -\\ \quad \quad -2x\quad -\quad y\quad +\quad 111\quad =\quad 0 }{ 3x\quad -\quad 135\quad =\quad 0 } $$


$$x\quad =\quad \cfrac { 135 }{ 3 } $$

$$x\quad =\quad 45$$      



  $$\quad x\quad -\quad y\quad -\quad 24\quad =\quad 0\\ 45\quad -\quad y\quad -\quad 24\quad =\quad 0\\ \quad \quad y\quad =\quad 45\quad -\quad 21\\ \quad \quad \quad y\quad =\quad 21$$


Por lo tanto:

       Np del pino = 45 pájaros.

       Np del chopo = 45 pájaros.

       Np de la morera = 21 pájaros.



b) Comprueba que las soluciones coinciden con el apartado 1

      Lógicamente las soluciones coinciden en los dos apartados.

Apartado 1:                                                       Apartado 2:

     Np del pino = 45 pájaros.                                Np del pino = 45 pájaros.

     Np del chopo = 45 pájaros.                              Np del chopo = 45  pájaros.

     Np de la morera = 21 pájaros.                          Np de la morera = 21 pájaros.